王莉 王庆林

1  引言

        Lyapunov函数在非线性控制系统的设计中有着极其重要的作用。长期以来，关于Lyapunov稳定性理论虽取得了很多结果，但不存在一般性的构造Lyapunov函数的有效方法^[1]。20世纪80年代，A.Saberi、P.V.Kokotovic和H.J.Sussmann等人对部分线性的严格反馈系统提出所谓Backstepping设计方法^[2]。这种方法采用Backstepping（反向递推）设计，在每一步把状态坐标的变化、不确定参数的自适应调节函数和一个已知Lyapunov函数的虚拟控制系统的镇定函数等联系起来，通过逐步修正算法设计镇定控制器，实现系统的全局调节或跟踪。它适用于可状态线性化或严格参数反馈的不确定性系统，可以方便的使用符号代数软件来实现^[3]。因此，Backstepping设计方法在近年来引起了有关学者的高度重视，在第十四届IFAC世界大会及1999年美国控制会议ACC上，有近50篇论文涉及到Backstepping设计方法在不确定系统及各种对象中的理论与应用研究^[3]。

        Backstepping设计方法有两个主要的优点：(1) 它通过反向设计（recursive design）使系统的Lyapunov函数和控制器的设计过程系统化、结构化；(2) 可以控制相对阶为n的非线性系统，消除了经典无源性设计中相对阶为1的限制^[2]。因此，Backstepping设计方法一经提出，便得到广泛的关注，并被推广到自适应控制、鲁棒控制等领域。

        Backstepping设计方法首先是针对单输入系统提出的，后来被推广到多输入系统，但它存在如下两个潜在的问题：(1) 系统结构需要满足所谓块严格反馈（block strict feedback）条件；(2) 数学结构复杂（Algebraically complex），尤其当模型因具有不确定性而存在非线性阻尼（nonlinear damping）时^{[注1：Sliding Mode Control, I/O Linearization, Integrator Backstepping and Dynamic Surface Control. Disscussion#11. ME237-Control of Nonlinear Dynamic Systems. Anouck Girard. April 15th, 2002]。}

        本文将主要介绍Backstepping设计方法在线性系统和非线性系统中的具体实现，以便读者了解Backstepping设计方法的基本思想及其运算过程。本文最后还简单介绍了Backstepping设计方法的应用情况。

2  Backstepping设计方法

        Backstepping的设计思想是：针对满足严格反馈控制结构的系统，通过Backstepping