若由其半定量信息得知：，则对应的极值系统为：

在许多情况下，由此系统产生的数值边界比Q₂产生的边界要紧得多。
    然而，由于NSIM是用区间来表示系统的不确定性的，并且忽略了各变量之间的相互关系以及SQDE的相互关系，其结果便不可避免的仍具有奇异行为分支。

2.3  模糊定性仿真
    由于模糊数学可以更容易地描述物理系统的知识，比区间化的描述更接近于人的直觉，因此很自然会想到将模糊数学引入定性仿真。Qiang Shen和Roy Leitch就根据仿真器 的约束传播原理，利用模糊数学的相关知识，建立了一种定性定量仿真算法：模糊定性仿真（Fuzzy Qualitative Simulation, FuSIM）[7]。这种方法为定性仿真提供了一种准定量描述，既集成了定量的知识，又解决了系统描述的不确定性问题。
    与QSIM算法类似，模糊定性仿真在假设系统变量是时间的连续函数的基础上，先给出系统变量描述、模糊量空间、系统结构模型和系统初始状态，然后产生系统变量的可能的后继状态，并利用过滤方法滤去不合理的状态。由于其引入了系统的定量信息和Q₂中的定量信息传播技术，相应地可以减少一部分系统的奇异行为分支，并提高仿真结果对系统的描述能力。此算法采用了Q₂中提出的系统变量在某个特定状态的持续时间被应用来删除系统的行为分支，即时序过滤技术，从而使得仿真结果中系统行为分支相对减少。这种仿真算法的基本原理包括：

    (1)  状态描述。即将模糊量空间是所有系统变量定性取值的空间，用于定义变量在某一给定时间点或时间间隔上的定性值，由正凸模糊数的子集组成的集合Q_F表示。系统变量x在某一段时间∆T_P内的模糊定性状态为 是一个二元组， ，其中A为模糊量值，B为模糊变化速率，∆T_P为变量x在此定性状态的持续时间。持续时间由状态的定性量值及其变化速率的范围确定。
    (2)  状态转换。即是指系统参数变量x从一个状态变化到另一个状态 ， 。假设系统变量连续可微，故而x从到的转换可以描述为一组规则，与其它定性仿真一样，称为可能的状态转换规则。
    (3)  过滤技术。模糊定性仿真算法是在系统定量是连续的条件下实施的，因此对于每一个给定的初始状态，可能的状态转换规则确定一系列后继状态集合。对产生的后继状态要进一步限制，模糊定性仿真算法采用三种过滤技术：采用参数间的约束进行约束过滤；利用持续时间和到达时间进行时序过滤；应用系统模型的其他知识进行全局过滤。
模糊定性仿真合理的应用了系统的定量知识和时序过滤技术，这使得它比QSIM的仿真结果所含的系统奇异行为分支要少得多，但它仍未完全摆脱QSIM的影响。

2.4  SQSIM―半定量仿真器
    1998年，H. Kay结合仿真算法QSIM、NSIM和O₂，提出了一种新的仿真算法：SQSIM（Semi-Quantitative Simulation）[8]。SQSIM是一种对既包含参数不确定性又包含函数不确定性的常微分方程（ODE）进行表示和仿真的算法，其预测结果与系统模型的不确定性是严格相容的。
    基于QSIM对ODE的表示方法，SQSIM对系统的不确定性分别采用结构层（Structural Level）、定性层（Qualitative Level）和定量层（Quantitative Level）的多重表示的方法。并且采用数值区间去限制参数值不精确带来的不确定性，用静态包络表示函数的不确定性。其推理过程依如下步骤进行：

(1)  定性推理。应用Kuipers的QSIM算法，得出系统的所有可能定性行为。
(2)  Q₂半定量推理。由于QSIM算法忽略了定量层的信息，它产生了与系统QDE相容的所有的系统行为，自然也包含了与SQSIM不相容的行为。将系统的定量信息应用于QSIM产生的定性行为树之上，应用Q₂进行半定量推理，删除一些行为分支，对预测结果起到精炼作用。
(3)  NSIM定量推理。Q₂建立了在定性与定量之间的桥梁。极大化和极小化SQDE中的每一个微分方程，NSIM根据QDE构建了一个极限系统。由这些极限方程构成了系统新的ODE系统，在这个系统中，其状态变量是SQDE中状态变量的上下界，应用这些精确的ODE系统来代替原来的不确定的系统。由于新的系统是一个ODE系统，对其可以采用常用的仿真方法进行仿真而得到系统的边界。
(4)  SQSIM―结合不同层次的推理。结合QSIM、Q₂和NSIM来减少对不确定系统预测的不确定性。它以QSIM为仿真的基础，在仿真的每一个时间点上，运行Q₂和NSIM产生时间和动态包络，并运行每一种描述的动态包络交集、事件交集、极值检测、阶数约减等策略，直到发现关于Q₂事件的确定点。
SQSIM是一种运行在状态到状态的基础之上，并运用当前和以前的状态去精炼系统行为的一种仿真算法。它的模型和预测结果有以下几点性质：

?  预测的系统行为是由定性行为、事件和动态轨迹包络构成的一棵状态树；
?  结果包含了SQDE（Semi-Quantitative Differential Equation）中的所有真实行为：
?  SQDE能够像描述参数的不确定性一样来描述函数的不确定性；
?  模型的不确定性应用参数的取值范围和未知函数关系的静态包络来表示。

3  GQSIM―灰色定性仿真

    Huang和Chen在分析现行定性定量仿真理论的基础上，结合灰色系统理论、概率论和定性仿真中处理不确定性问题的理论精髓，于2004年提出了一种以变量状态持续时间为定性推理基础的定性定量相集成的仿真算法：灰色定性仿真（Grey Qualitative Simulation，GQSIM）[9]。

3.1  灰色定性仿真
    在GQSIM中，首先定义了一个特殊的灰数：概率灰数，并提出了一种新的指数模型：优化H-C模型。
定义  概率灰数是实区间上的随机变量，其分布函数为：，其中满足
 
并称1-α为概率灰数的测度，记作。

图1  测度为1-α的概率灰数X[a,b]示意图

    实数0作为一个特殊的概率灰数规定其测度为1。定义中的区间可根据需要采用开区间或半开半闭区间。
    全体概率灰数的集合记作G，在其上定义相关运算法则后，称之为灰色量空间。
    定义  设为原始序列，其级比满足条件，。称
 
为X0的优化H-C模型。其中 ，d为方程
 
的解。
 
其中，。
    将优化H-C模型应用于半定量系统辨识，产生系统变量间关系的动态包络，进而产生变量间的关系约束矩阵。

灰色定性仿真的基本原理包括：

(1)  灰色定性建模
    包括定性建模和半定量建模两部分：定性建模是以定性微分方程QDE为基础的。在灰色量空间上，物理系统中的变量通过QDE相互制约。在这些QDE中，除了灰色量空间中定义的相关运算外，还有导数运算和函数运算。与传统的定性仿真不一样的是QDE不仅可以对定性状态进行约束检验，也可以直接产生变量的后继状态。这样将大大地减小通过定性推理产生的系统状态空间。
    半定量建模是应用优化H-C模型建立一个物理系统中变量之间的动态包络来体现的变量之间的约束关系，产生变量间的关系约束矩阵。通过这些包络，变量之间的约束不再被局限于QDE中的单调增加或单调减少的函数关系。

(2) 状态描述
    一个物理系统中的变量X在某一个给定时间点或区间上的灰色定性状态是一对有序概率灰数对，其中A是变量X的半定量值，B是其变化速率，它们的测度分别为1-α和1-β。变量 在此状态持续时间为：

其中，表示A的长度；若灰数B的区间为[a,b]，则

(3) 指导规则
    如果概率灰数A的区间为[a,b]，B的区间为[c,d]，则对于变量X的当前状态的变化有如下的指导规则：

①  相邻性规则。如果变量X的后继状态为，那么A与C，B与D分别是相邻的。
②  单调性规则。若c>0，则变量X的后继状态满足；若d<0，则变量X的后继状态满足。
③  守恒规则。若c=d=0，则状态保持不变。
④  连续性规则。如果变量X的后继状态为 ，且 ，那么。
    在应用定性推理产生变量的后继状态时，遵循指导规则，可以减少不必要的系统行为分支，以节省仿真时间，提高仿真效率。

(4)  约束传播
    在灰色定性仿真中，系统的定量信息的传播分为关系方程约束传播和关系矩阵约束传播。与其它仿真算法中的约束传播不同，灰色定性仿真中的约束传播不仅可以用来产生系统变量的后继状态，也可用来消除不合理的当前状态。

(5)  相容性检验和全局检验
    由于概率灰数仍具有不确定性，在指导规则下产生的变量的后继状态也存在模糊性。虽然经过约束传播删除了变量的部分奇异状态，变量的奇异状态大大减少，但仍需要对完全状态进行相容性检验和全局检验。为了进一步减少系统的奇异行为，应用实际系统的原理性知识、启发性知识和外部知识对系统的完全状态进行相容性检验和全局检验，使仿真结果与实际情况更吻合。
灰色定性仿真流程如图2所示。

图2  灰色定性仿真流程图

 


    灰色定性仿真是一种以系统变量的当前状态持续时间为定性推理依据的仿真算法。在指导规则的约束下，每次只产生持续时间上界最小的变量的后继状态，然后进行约束传播，与QSIM每次产生系统所有变量的所有可能后继状态再进行约束过滤相比较，GQSIM不仅节约了大量的仿真所需的空间和时间，而且有效地删除了大量的系统行为分支，提高了仿真效率和准确性。

3.2  基于灰色定性仿真的故障诊断[12]

图3  灰色定性观测器

    为了准确迅速地进行在线故障诊断，有必要在离线状态下建立系统的动态故障模型。根据系统的灰色定性约束和系统的实际构造，应用Reiter的故障诊断理论[10]可以建立系统的故障模型。在故障模型建立之后，利用定性观测器对系统进行实时观测。下面给出一种新的定性观测器，如图3所示。
    对系统的实际行为通过传感器得到的实际状态与GQSIM产生的预测状态进行差异比较。考虑系统的某一变量X，设其在时间T内的实际状态为(u, v)，其中。该变量在对应时间内的预测状态为，其中。下面定义变量X的实际状态与预测状态的拟合度和故障判决函数：
定义  设和(u, v)分别为变量 的预测状态和实际状态，称


分别是变量X的第一，第二拟合度；称

为变量X的故障判决函数，其中是给定的阈值。
    若，则可以认为变量X的原因元件是正常的，反之认为相应元件出现了故障。对于经过判决函数得到的故障变量集合于故障模型集合进行匹配，进而得到相应的系统故障所在。
    如果得到的故障变量集合于故障模型不匹配，那么新的故障模型有必要被建立。为此，将此故障变量集合 返回灰色约束集，应用Reiter故障诊断理论推导新的故障模型，并将此模型加入原来的故障模型集合之中。
基于灰色定性仿真的故障诊断算法：

①  输入系统实时初始状态并实时监测系统实际状态。
②  通过GQSIM预测系统行为状态。
③  计算系统各变量的预测状态与实际状态的拟合度。
④  比较系统的预测状态与实际状态。如果，输出“系统正常”；如果，转到⑤。
⑤  将故障变量集合与故障模型集合进行匹配，如果存在，那么输出“故障Fi”；如果不存在，转⑥。
⑥  根据⑤中的故障变量集合，结合系统灰色约束机，推导新的故障模型并将其加入到原来的故障模型集之中，回到⑤。

4  结语

    随着仿真技术的发展，模拟人类思维和推理过程是人工智能领域和系统仿真领域共同关注的热门课题。定性仿真力求非数字化，通过定性模型推导系统的定性行为描述，具有人的智能行为特点，但定性仿真自其产生之日起，如何消除仿真的冗余行为分支和提高仿真准确性便成为研究的热点。
    近年来的研究表明，引入定量知识来改进定性仿真，既可提高效率，又可优化结果。首先，定性仿真与定量知识的集成，提高了仿真的效率。由于定量知识的引入，定性仿真每一步由定性计算导致的模糊性大为减少，从而减少了许多不必要的仿真分支，节省了大量无谓的计算。其次，在定性建模中增加定量知识，可以构造不同层次的系统模型，形成智能系统，满足系统的不同要求。另外，在定性建模和仿真中增加定量知识，可以更精确地定义系统及其行为，这在过程系统的诊断和预测中非常有用。