一种三自由度并联机器人机构的运动学分析--控制网



一种三自由度并联机器人机构的运动学分析
企业：控制网 日期：2006-07-19
领域：传感器 点击数：2048

1. 前言
        并联机器人具有输出精度高、结构刚性好、承载能力强、部件简单及运动学反解简单等许多串联机器人所没有的优点，近年来引起了机器人研究者的高度重视。其中，六自由度并联机器人方面的研究已比较深入和成熟。三自由度并联机器人是一种很有实用前景的机器人，其也越来越多地引起人们的注意。三自由度并联机器人包括平面三自由度并联机器人，球面三自由度并联机器人和空间三自由度并联机器人。球面三自由度并联机器人能够实现运动平台三维转动，是一种角台形式，由静角台、动角台和三组具有一定弧度的连杆架和连杆构成，各联接处均采用转动副。这种机构结构复杂、设计困难。
        本文针对某水下运动模拟装置提出一种具有三个转动自由度的并联机器人平台，该机构与球面三自由度并联机器人相比，具有部件少，结构简单，运动学方程形式简单，求解容易，计算量小，易于控制等优点。这种并联机构不仅可用作特殊的运动模设备，还可以应用于机器人三自由度柔性腕关节、肩关节等机器人结构上，具有一定的应用前景。
     

2. 结构描述
        图1为所设计的三自由度并联机器人机构。上、下平台是两个不同长度的等边三角形q1q2q3和P1P2P3，其外接圆半径分别为r和R。上下平台形心点分别为C和O，形心点之间用固定杆长的支撑杆相联。P1q1、P2q2、P3q3之间用三根可以伸缩的支撑杆相联接。固定支撑杆与下平台固接，与上平台运动副为球铰，三根可以伸缩的支撑杆与上平台运动副为球铰，与下平台运动副为虎克铰。固定坐标OXYZ置于下平台三角形中央，原点位于O点，Z轴垂直向上，X轴通过P2点，方向如图所示，Y轴平行于P1P3。OP1与X轴方向的夹角为q。固定于上平台的动坐标系Cxyz原点位于形心C点，x轴沿Cq1方向，y轴平行于q2q3，z轴垂直于上平台。各铰接点的坐标为

Pi（Xi，Yi，0）T的绝对坐标
,,
qi（xi，yi，0）T对Cxyz的坐标
,,

 图1 三自由度并联机器人结构
                                  

    具有上述结构的并联平台由于中间固定支撑杆限制了三个移动自由度，从而使上平台只能实现空间三维转动。当机构的移动副作长度变化时，上平台的位置参数随之变化，实现三个自由度的转动。根据机构自由度计算公式： （1）
式中n为构件数，g为关节数，f1为所有关节自由度总数，对于本并联机器人n＝8，g＝10，f1＝21，故本机器人自由度F＝3。
 
 
3. 运动学分析
3.1 运动学位姿反解
    所谓机器人运动学位姿反解指已知输出件的位置和姿态，求解机构输入件的位置称为机构位姿的反解。所设计的并联机器人机构的坐标如图1所示，设（a，b，g）T为动坐标系绕X，Y，Z三轴的转动角位移，C点在固定坐标系下的坐标为（0，0，zc）T，在上平台运动过程中为定值。经过齐次变换，在动坐标系下的铰接点qi在OXYZ坐标系中的坐标Q i（XTi，YTi，ZTi）T可表示为

                                 其中i＝1，2，3，RT为坐标转换矩阵


（3）

式中c（?）表示cos（?），s（?）表示sin（?）。
则相应的杆长为（4）
这样当已知上平台的角位移，通过式（4）就可求得各杆的杆长。
 
3.2 运动学位姿正解
      当给出三个驱动器的三个输入Li，计算运动平台末端件的位置和姿态，即为运动学的位姿正解。由式（4）

（5）
                                              
    式中

    式（5）为含有6个未知数的3个方程组成的线性方程组，若选其中的3个未知数lx，lz，mz作为基本变量，则其余的3个未知数可以表达成这3个变量的函数


（6）

        式中，Fi，Di，Hi和Ii（i＝1，2，3）为常数，可以通过式（5）求得。此外，转换矩阵RT中的元素存在下列关系



（7）

        将式（6）代入式（7）中，可以得到只含有未知数lx，lz，mz的3个方程，进一步整理后写成下面的形式

                                             
（8）

i＝1，2，3，fi,1，fi,2，fi,3是常数，fi,4，fi,5是lx的一次多项式，fi,6是l的二次多项式。且f1,2，f1,3，f1,5，f3,2为零。
当i＝1时，分别用1，lz，mz，lzmz，m2z乘以式（8）可得5个方程，当i＝2，3时，分别用1，lz，mz，lzmz乘以式（8）可得8个方程，这13个方程中含有13个未知数，可以写成
BY＝0 （9）
式中，B为13×13的矩阵，并且其元素为lx的多项式，Y是13×1的未知数向量，


（10）

         式（9）是一齐次线性方程组，其有解的条件是其系数行列式为零，即
det| B |=0        （11）
从式（11）可得到关于lx的8次多项式

                                              （12）
由此得到lx有8个可能的解，由对称性知，lz，mz也各有8个解。因此，所设计的3自由度并联机器人机构对于一组给定的输入杆长，上平台最多有8个可能的位姿。
3.3 速度求解
根据所设计的并联机器人机构的结构特点，通过推导雅克比矩阵J可以得出速度运动学公式。由于所设计的机构只有转动，没有平动。根据图1所示，当已知上平台的角速度 ，上平台各铰链点q1，q2和q3处的速度 （i＝1,2,3）可以表示为

（13）
 
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