李钟慎：华侨大学机电及自动化学院

    控制系统常用的动态性能指标包括三个方面：①过渡过程的品质指标，如超调量、调节时间、上升时间等；②正定二次型积分泛函；③误差泛函积分评价指标，是以控制系统的误差函数e(t)为泛函的积分评价，包括IE、ISE、ISTE、IAE、ITAE等。其中，ITAE性能指标又以较好的实用性和选择性得到了广泛的应用，许多文献把ITAE看作是单输入单输出控制系统和自适应控制系统的最好性能指标之一[1]。应用Parseval定理并借助计算机可以求出位移无静差、匀速无静差、匀加速无静差ITAE最优传递函数，其中位移无静差ITAE最优传递函数具有较好的平稳性和快速性，是一组适用于工程控制系统的最优参数。本文将以位移无静差ITAE最优传递函数为例研究1~8阶ITAE最优传递函数的极点分布、时域响应和频域响应，ITAE最优传递函数的分母多项式系数与加权矩阵的关系等。

    1  ITAE最优传递函数

    ITAE准则即时间乘绝对误差积分准则是最常用的目标函数之一，它表示为
                                                 （1）

    如果把误差e(τ)组成的泛函看成是一种“损失函数”，那么，式（1）的积分指标就可以看成是控制系统由一个状态变换到另一个状态时，以某种损失为最小代价实现它的控制目的，这时就认为这个系统具有某种最优控制律。因此，式（1）的积分JITAE取极小值，就说该系统具有ITAE最优控制。它对误差e(τ)加以时变τ的权，在过渡过程之初，τ→0，权τ对e(τ)的影响极小；在对控制系统动态性能影响最大的中间段τ∈[τ0，τt]，随着权τ的增加，逐渐加强对e(τ)的权τ的作用，以抑制误差的增大，促进它加快收敛，因此，ITAE最优控制具有快速而又平稳的过渡过程。

    应用Parseval定理并借助计算机可以求出ITAE最优传递函数。ITAE最优传递函数为
                                                 （2）

    表1给出了式（2）中ITAE最优传递函数分母多项式的系数[1]。

    表1 ITAE最优传递函数分母多项式的系数

    令        ，可得归一化的ITAE最优传递函数为
                                                 （3）

    2  ITAE最优传递函数的极点分布

    根据式（3）和表1的归一化的ITAE最优传递函数，采用MATLAB可以绘制出1~8阶ITAE最优传递函数的极点分布图，

    如图1所示，图1中的“ｏ”表示极点。

    从图1(a)、(b)可以看出1～2阶归一化ITAE最优传递函数的极点分布在单位圆上，分布情况与归一化Butterworth最优传递函数的极点分布相同。

    从图1(c)、(d)、(e)、(f))可以看出3～6阶归一化ITAE最优传递函数改善性能的方法主要是通过增大主导极点的模来减小系统过渡时间；减小主导极点的阻尼角，即增大其与虚轴的夹角，来减小系统的超调。并且，为了使稳态误差为零必须减小其它非主导极点的模。

    从图1(g)7阶归一化ITAE最优传递函数的极点分布图知，主导极点十分接近虚轴。必然使得系统调节时间大大延长。
从图1(h)8阶归一化ITAE最优传递函数的极点分布图知，2个极点分布在负实轴上。由于主导极点靠近虚轴，系统稳定性也被削弱。

    3  ITAE最优传递函数时域与频域响应

    通过编写程序，绘出1～8阶归一化ITAE最优传递函数的阶跃响应图，如图2所示。
   

(c) n=3 

 图2 归一化ITAE最优传递函数的阶跃响应图

    表2 归一化ITAE最优传递函数的性能指标

 图3 归一化ITAE最优传递函数的Bode图

    按文献[6]的方法，文献[6]所给例子的加权矩阵Q如表3所示。从表3可以看出，加权矩阵Q主对角线的元素与ITAE最优传递函数分母多项式的系数有一定的关系，不同的系数体现了对系统状态重视程度的不同。

    5  结语

    从ITAE最优传递函数的极点分布、时域响应和频域响应可以看出，2~6阶位移无静差ITAE最优传递函数都具有较好的平稳性和快速性。二次型性能指标中的加权矩阵Q主对角线的元素与ITAE最优传递函数分母多项式的系数有一定的关系。这些研究结果将大大促进ITAE最优传递函数的广泛应用，为进一步研究ITAE最优控制问题打下良好的基础。

    其他作者：王永初（1937―），男，华侨大学机电及自动化学院教授，博士生导师，研究方向为过程控制。

    参考文献

    [1] 项国波.ITAE最佳控制[M].北京:机械工业出版社,1986.213-287.

    [2] 杨益群,项国波.新的ITAE最佳传递函数标准型[J].信息与控制,1997,26(4):259-265.

    [3] 张志涌,刘瑞桢.对经典ITAE传递函数标准型的研究[J].福州大学学报:自然科学版,1997,25(3):120-121.

    [4] 李玉榕,李维谦.基于遗传算法的ITAE最优传递函数标准型优化[J].福建电脑,2003(9):26.

    [5] 曹毅.关于位移无静差系统ITAE最佳标准化传递函数的修正[J].浙江大学学报：自然科学版,1989，23(4):550-559.

    [6] 李钟慎,洪健,王永初.ITAE最优控制的逆问题[J].华侨大学学报:自然科学版,2005,26(4):404-407.