廖勇（1982-）
男，江西崇仁人，硕士研究生，（厦门大学自动化系，福建  厦门  361005）,主要研究方向为广义时滞系统的鲁棒控制等。

摘要： 针对一类广义时滞系统，假定系统的状态是完全可测的，基于线性矩阵不等式（LMI），通过构造Lyapunov泛函，给出了一种鲁棒H∞状态反馈控制器的设计，仅通过求解相应的线性矩阵不等式就可得到鲁棒H∞状态反馈控制器。并证明了该方法不仅使得相应的闭环系统渐近稳定，又能保证闭环系统从扰动到受控输出之间传递函数的H∞范数不大于给定的指标值。用数值算例验证了所给方法的有效性。

关键词：广义时滞系统；状态反馈；线性矩阵不等式

Abstract:  Based on LMI and by proper Lyapunov functions, under the assumption that the system state test is available, H∞ state feedback controllers design can be obtained by solving the corresponding LMI in terms of a generalized time-delay system. This approach is proved that it can not only make the closed-loop systems asymptotically stable, but also limit the H∞ norm of the transfer function from disturbance to controlled output not greater than a given constant. At last, a numerical example is presented to illustrate the validity of this approach.

Key words: generalized time-delay systems; state feedback; LMI

1 引言

    众所周知，由于实际系统中元器件的老化，灵敏度不够以及信息传递的延迟，时滞现象广泛存在于各种实际系统中。而时滞的存在常常是许多实际系统不稳定的根源，对正常时滞系统的研究已经取得不少成果[1,2],其控制器设计方法主要集中于用Riccati型的矩阵方程式或不等式方法[3]和线性矩阵不等式(LMI)方法[4]。因为广义时滞系统是比正常时滞系统更加广泛的一类系统，因此对于广义时滞的研究已引起了越来越多的关注。本文研究了一类广义时滞系统H∞控制器的设计，给出了广义时滞系统H∞控制器设计的LMI方法，并可以利用LMI工具箱方便的设计出稳定的控制器。

2 问题的描述

    考虑如下形式的广义时滞系统

         （1）

    其中是系统的状态向量，是系统的控制输入向量，为干扰输入向量，为被控输出向量，为滞后时间，（n维连续函数向量空间）为系统的初始条件。分别是已知的具有适当维数的矩阵，且。

    定义1：对于广义时滞系统（1）的矩阵若存在，使得则称系统（1）是正则的。

    定义2：在系统的零初始条件下，对于任意的，给定常数r>0如果有则称系统（1）是渐近稳定的，且具有H∞性能。
  
    说明：本文在以下的研究中，我们假定系统（1）是正则的且假定系统无脉冲，正则性保证了系统存在唯一解，而无脉冲保证了系统没有无穷极点。
  
    本文的研究目的是，对于广义时滞系统（1），设计状态反馈控制律

                                      （2）

    使得闭环系统

       （3）

    是渐近稳定的，且满足一定的H∞性能指标。（其中）

3 主要结果及证明
 
    以下是本文的第一个结果，给出了闭环系统渐近稳定且具有H∞性能r的充分条件。

    定理1对于系统（1）和给定的常数r，如果存在正定对称矩阵Q，矩阵P,使得

                                   (4) 

         (5) 

    则系统（1）具有H∞性能指标r。

    证明：构造如下的Lyapunov函数

         (6)

    是正定对称矩阵，显然，是正定的。

    对（6）式求导得

   

    考虑泛函指标

   

    而

   

    在系统的零初始条件下，所以有

   

   

    若令

      （7）

    则有由Schur性质可知，（7）式可以写成如下形式

 
          (8) 


    定理2给定H∞性能指标r>0,如果存在正定对称矩阵M，非奇异矩阵X和矩阵Y满足

          （9）

         （10）

    则系统（3）是可以状态反馈H∞控制的，且是系统的一个反馈控制律。

    证明：将代入（5），并对（4）左乘，右乘。对（5）左乘，右乘。得

   
    

    令定理可证。

4 算例

   

    性能指标。

    利用Matlab LMI Toolbox求得：

    

    控制律为

   

5 结束语
  
    本文研究了一类广义时滞系统的状态反馈H∞控制问题，通过构造Lyapunov泛函给出了稳定控制器设计的线性矩阵不等式（LMI）方法，可以使得闭环系统渐近稳定，且满足一定的H∞性能指标。利用MATLAB软件，可以很方便地设计系统的控制器。因此，本文的结果具有一定的理论和实用价值。

    其它作者：陈高（1984-），男，江西萍乡人，硕士研究生，主要研究方向为降阶控制器。

参考文献：

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