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2.2  非线性系统设计中的Backstepping设计方法^{[5,6,注4:本小节内容部分的来源于国外的讲义:Lectures 19&20:Backstepping]}

    本节讨论非线性反馈控制系统设计中的Backstepping设计方法。它是应用于非线性系统的稳定性方法，要求系统具有特殊的结构，即实际控制的输入通过一系列的积分器一步步到达一个个基本的子系统。设计的思路是通过先为基本的子系统设计一个稳定控制法则，再应用积分器反向递推（Backstepping）来获得真实的控制法则。

    考虑如下的非线性控制系统：

        dη/dt=f(η)+g(η)ξ

        dξ/dt=u                                    (10)

    其中η(t)∈Rⁿ,ξ(t)∈R, f(0)=0。假设想让原点(η,ξ)= (0,0)稳定，同时又假设对于dη/dt子系统通过把ξ看作是一个输入能够设计一个稳定的反馈控制器。也就是说，假设选ξ=φ(η),并且φ(0)=0，稳定如下系统的原点：

        dη/dt=f(η)+g(η)φ(η)                      (11)

        假设存在一个Lyapunov函数v(η)能证明子系统(11)中的dη/dt的渐进稳定性，也就是说，假设存在函数V(η)>0且：

         ，

    这里W(η)是一个正定函数。

    把方程(10)表示为如下形式：

        dη/dt=(f(η)+g(η)φ(η))+g(η)(ξ－φ(η))

        dξ/dt=u

    把变量(η,ξ)换为(η, z)，这里z=ξ－φ(ξ)，则有：

    dη/dt=(f(η)+g(η)φ(η))+g(η)z

    dz/dt=u－dφ/dt

    选择u=v+dφ/dt则有：

    dη/dt=(f(η)+g(η)φ(η))+g(η)z

    dz/dt=v

    如果z＝0

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