北京和利时系统工程有限公司

其中KP是比例增益，KI是积分增益，KD是微分增益。
    可见，PID控制器输出的控制量u只是误差信号的比例、积分、微分三部分分别乘以各自的增益参数以后的简单相加，而各增益参数都是通过适当整定方法得出的常数，由此便体现出了PID控制律控制的局限性。因为控制系统的性能指标通常要根据工业生产过程对控制的要求来制定，这种要求可概括为稳定性、准确性和快速性，所以PID控制在实际应用中的局限性就是：其输出是误差信号的比例、积分、微分的线性组合，但线性组合并非最佳选择，理论分析和大量实践表明，“线性组合”常引起快速性和超调量之间的矛盾，即不能同时满足既快速达到理想值同时又尽量减小超调量这两个性能要求。另外，这种简单的结构也决定其不可能对环境或控制对象模型参数的变化具有自适应能力。

可见传统线性PID控制器在控制品质上的局限性，主要来自以下几个方面：
    (1)  算法结构的简单性决定了PID控制比较适用于SISO最小相位系统，在处理大滞后、开环不稳定过程等难控对象时，难以取得较好的控制效果，保证较好的动态性能。
    (2)  结构的简单性同时决定了PID控制只能确定闭环系统的少数主要零极点，闭环特性从根本上是基于动态特性的低阶近似假定的。
    (3)  出于同样原因，决定了常规PID控制器无法同时满足快速跟踪设定值和抑制扰动的不同性能要求。
    由于以上原因，单纯的线性PID控制并不是大滞后系统的最佳控制策略，而且误差的比例、积分、微分三部分的线性组合始终无法克服快速性和超调量之间的矛盾，故本文在此基础上，采用了一种新型的PID控制方法―非线性PID，以期既能兼顾传统PID的优点又能改善其在对大滞后对象进行控制时的控制效果。

3  非线性PID控制器

    要得到非线性PID，顾名思义就是找到合适的非线性函数对输出控制量的计算公式进行改进，使控制器的控制量输出不再是控制误差比例、积分、微分三部分的单纯的线性相加，从而有望克服传统PID的局限性。具体的方法可以是通过非线性函数对e、、分别进行转化，也可以利用非线性函数对它们的增益参数K_P、K_I、K_D进行非线性转换。
    本文采用的非线性PID的基本原理为：根据系统阶跃响应曲线，分段分析PID控制器增益参数K_P、K_I、K_D应有的变化趋势，分别得出它们能够满足系统动态性能要求的曲线形状，并由此选择合适的非线性函数，本文采用了双曲正割函数sech()和指数函数exp()来拟合这一曲线，使K_P、K_I、K_D成为随e(t)变化的变量，且其变化趋势符合人们想达到的更高性能指标的要求。 

具体实现方法如下。

图1是一般的系统阶跃响应曲线，根据该曲线可以分析非线性PID控制器增益参数的构造思想。

图1  一般系统阶跃响应曲线

设计原理如下：

(1)  比例增益参数KP
    在响应时间0≤t≤t₁段，为保证系统有较快的响应速度，比例增益参数K_P在初始时应较大，同时为了减小超调量，希望误差e逐渐减小时，比例增益也随之减小；在t₁≤t≤t₂段，为了增大反向控制作用，减小超调，希望KP逐渐增大；在t₂≤t≤t₃段，为了使系统尽快回到稳定点，并不再产生大的惯性，期望KP逐渐减小；在t₃≤t≤t₄段，期望KP逐渐增大，作用与t₁≤t≤t₂段相同。显然，按上述变化规律，随误差e变化的大致形状如图2(a)所示，根据该图可以构造如下非线性函数：

    式中，a_p，b_p，c_p为正实常熟。当误差e→∞时，KP取最大值为a_p＋b_p；当e＝0时，KP取最小值为a_p；b_p为KP的变化区间，调整c_p的大小可调整KP变化的速率。

(2)  微分增益参数KD

    在响应时间0≤t≤t₁段，微分增益参数KD应由小逐渐变大，这样可以保证在不影响响应速度的前提下，抑制超调的产生；在t₁≤t≤t₂段，继续增大K_D，从而增大反向控制作用，减小超调量。在t₂时刻，减小微分增益参数K_D，并在随后的t2≤t≤t4段再次逐渐增大K_D，抑制超调的产生。根据KD的变化要求，在构造KD的非线性函数时应考虑到误差变化速率ev的符号。KD的变化形状如图2(b)所示，所构造的非线性函数为：

    式中，为误差变化速率， a_d，b_d，c_d，d_d为正实常熟，a_d为 的最小值，a_d＋b_d为 的最大值，当e＝0时，，调整d_d的大小可调整K_D的变化速率。

(3)  积分增益参数KI

    当误差信号较大时，希望积分增益不要太大，以防止响应产生振荡，有利于减小超调量；而当误差较小时，希望积分增益增大，以消除系统的静态误差。根据积分增益的希望变化特性，积分增益参数KI的变化形状如图2(c)所示，其非线性函数可表示为：
 
    式中，KI的取值范围为（0，a_i），当e＝0时，K_I取最大值。c_i的取值决定了K_I的变化快慢程度。
则非线性PID调节器的控制输入为：

    由上述分析可知，如果非线性函数中的各项参数选择适当，就能使控制系统既响应快，又无超调现象。另外，由于非线性PID调节器中的增益参数能随控制误差变化，因而其抗干扰能力，克服由大滞后对象的滞后特性带来的影响能力也比常规线性PID强，比常规线性PID更加智能，有更强的自适应能力和鲁棒性，即便工况发生一定变化仍能保持较好的控制品质，更适用于诸如大滞后系统等工况更加复杂的控制场合。

(a)  KP变化曲线     (b)  KD变化曲线        (c)  KI变化曲线
图2  非线性增益调节参数变化曲线

4  温度控制实验结果及分析

    根据前面的研究和分析，考虑将该非线性控制方法用于对温度这一工业控制中常见的具有大滞后特性的物理量进行控制。温度是工业控制的主要对象之一，其控制对象很多，且不尽相同。但工业中的温度对象一个较为普遍的特点就是它们大都含有纯滞后环节，容易引起系统超调和持续的振荡。除此之外，温度控制对象的参数一般会发生幅度较大的变化，从而导致温度对象数学模型的不断变化。这种随机产生和不可准确预计的变化，无疑地增加了温度控制的难度。
    因此，对于这种工况不断发生变化且具有大滞后特性的控制场合，采用前面描述的非线性PID控制器，以其优于常规线性PID控制器的自适应能力和更完善的控制性能定能取得更好的控制效果。
    本文采用贝加莱2003 PCC作为控制器，通过B&R Automation Studio操作系统进行编程，利用非线性控制算法对陶瓷加热片进行加热实验（系统结构如图3所示）。通过温度传感器采集陶瓷片的实际温度送入PCC的温度模拟量输入模块，并与温度设定值进行比较得出偏差，代入非线性PID控制算法算得控制量，再通过输出量计算程序将该控制量转化为数字量控制加热器的加热频率，即一个控制周期内加热时间的占空比，同时可在Automation Studio环境下对控制过程进行监控，绘制trace曲线图。

图3  陶瓷片加热温控实验系统结构图

以下是实验过程中实际温度变化响应的trace曲线图。

图4  温度跟踪曲线示意图

上图：非线性PID  下图：常规PID