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案例详细
标题线性广义时滞系统的状态反馈H∞控制
技术领域人机界面
行业
简介首先利用线性矩阵不等式（LMI）方法，给出线性广义时滞系统稳定的一个充分条件；然后讨论广义时滞系统的H∞状态反馈控制，给出控制器存在的充分条件，同时给出控制器的设计，控制器可由矩阵不等式解得。
内容



    为适应近代科学技术的发展以及大型工程技术的需要，人们提出了非传统数学模型描述的广义系统。信息传递等因素致使系统普遍存在滞后现象[1,2]，因而人们又提出滞后广义系统[3,4]。滞后广义系统的结构相当复杂[4]，既不同于无滞后的广义系统，又不同于通常的滞后系统。

    H∞控制理论是鲁棒理论的一个重要分支，近年来随着无滞后线性系统H∞理论的日趋成熟和完善，滞后线性系统的H∞理论也得到了相应的发展[5,6]。但由于广义滞后系统结构的复杂性，致使对滞后广义系统的H∞控制问题的研究仍处于初级阶段[4]。本文利用线性矩阵不等式方法，讨论一般的广义时滞系统H∞控制问题，给出了问题可解的一个充分条件以及控制器设计。

1 问题描述与预备知识
      
    考虑如下线性广义时滞系统
     
                （1）

    其中：为系统的状态变量，为控制输入，为干扰输入，为控制输出， >0为滞后常数，为任一连续的满足相容性条件的初始函数，各系数矩阵为适维常阵。特别地,=p<n。不失一般性，假设Cz，B1和D1都为零矩阵，否则可通过状态扩维方式将系统（1）转化为
    
    本文的目的是设计无记忆的状态反馈
                                （2）
    其中为常阵，使得系统（1）与反馈控制器（2）构成的闭环系统
                        （3）
    满足如下条件：1）内稳定；2）表示从干扰输入W(t)到被控输出  Z(t)的传递函数，>0为给定常数。

    设有滞后广义系统

                        （4）

    其中：
     且连续，
                    （5）   

    在给出稳定性概念之前，还需引用如下记号：

   
   

        
 
   
    
   

   

   
    
   

                                 （9）
    其中，则系统（1）的H∞控制问题有解，即系统（3）内稳定，且满足H∞范数界 
       
2主要结果
 
   

    证明 引理2中（7）的第二个不等式等价于下式
 
   

    则将引理1的结果应用于引理2即可得定理1。

    下面给出系统（3）内稳定且满足H∞范数界，即的一个充分条件。

     
 
   

   

    证明 ,则将引理1中的结果应用到引理3即可证明定理2（证明略）。

    定理3若存在矩阵满足如下矩阵不等式

     

     证明 使用两次Schur补引理可将（8）式简化成下列不等式
     
    

     将引理1的结果应用到引理4即可得定理3。

参考文献

    [1]Hale J K. Theory of Functional Differential Equations[M].New York:Springer
Verlag,1977.

    [2]刘永清，唐功友.大型动力系统的理论与应用——卷三：滞后、稳定与控制[M].广州：华
南理工大学出版社，1992.

    [3]Campbell S L. Singular Systems of Differential Equation[M].San Francisco:
Pitman,1980.

    [4]刘永清，谢湘生.大型动力系统的理论与应用——卷八：滞后广义系统的稳定，镇定与控制[M].广州：华南理工大学出版社，1998.

    [5]Wen T, Yaling C. H∞-optimal control for descriptor systems[A]. Proc of 12th IFAC World Congress[C].Sydney,1993.2:201-204.

    [6]Masubuchi I,Kamitane Y,Ohara A,et al. H∞ control for descriptor systems:A matrix inequalities approach[J].Automatica,1997,33(1):669-673.

    [7]刘永清，王伟，李远清.大型动力系统的理论与应用——卷七：滞后广义系统解的基本理论与应用[M].广州：华南理工大学出版社，1997.

    [8]曾建平，张怡，车玲.一类线性矩阵不等式可行解集的构造.Proceedings of the 24th
Chinese Control Conference[C].Guangzhou,P.R.China,2005.7:538-540.

    [9]冯俊娥，程兆林.线性广义时滞系统的H∞状态反馈控制器[J].控制与决策，2003，18（2）：159－163.

    廖勇，曾建平 （厦门大学自动化系，福建 厦门，361005）